Advertisements (Quảng cáo)
Cho hình cầu đường kính AA’ = 2r. Gọi H là một điểm trên đoạn AA’ sao cho \(AH = {{4r} \over 3}\) . Mặt phẳng \((\alpha )\) qua H và vuông góc với AA’ cắt hình cầu theo đường tròn (C).
a) Tính diện tích của hình tròn (C) .
b) Gọi BCD là tam giác đều nội tiếp trong (C), hãy tính thể tích hình chóp A.BCD và hình chóp A’.BCD.
Hướng dẫn làm bài:
Hình 2.45
a) Theo giả thiết ta có \(AH = {{4r} \over 3}\)
Ta suy ra \(OH = {r \over 3}\) . Gọi r’ là bán kính của đường tròn (C).
Ta có: \(r{‘^2} = {r^2} – O{H^2} = {r^2} – {{{r^2}} \over 9} = {{8{r^2}} \over 9}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy diện tích của hình tròn (C) là: \(S = \pi r{‘^2} = {{8\pi {r^2}} \over 9}\)
b) Vì BCD là tam giác đều nên ta có: \(BC = r’.\sqrt 3 = {{2\sqrt 6 } \over 3}r\)
Diện tích của tam giác đều BCD là \(S = {{B{C^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{24{r^2}} \over 9}.{{\sqrt 3 } \over 4} = {{2{r^2}\sqrt 3 } \over 3}\)
Thể tích hình chóp A.BCD là : \(V = {1 \over 3}{{2{r^2}\sqrt 3 } \over 3}.{{4r} \over 3} = {{8\sqrt 3 {r^3}} \over {27}}\)
Hai hình chóp A.BCD và A’.BCD có chung mặt đáy BCD nên:\({{{V_{A’.BCD}}} \over {{V_{A.BCD}}}} = {{HA’} \over {HA}} = {1 \over 2}\). Do đó, \({V_{A’.BCD}} = {{4\sqrt 3 {r^3}} \over {27}}\).