Bài 2.30 trang 125 Sách bài tập Giải tích 12: Giải các phương trình mũ sau:...

Giải các phương trình mũ sau:

a) ${(0,75)^{2x - 3}} = {(1\frac{1}{3})^{5 - x}}$                                                                     

b) ${5^{{x^2} - 5x - 6}} = 1$

c) ${(\frac{1}{7})^{{x^2} - 2x - 3}} = {7^{x + 1}}$                                                                          

d) ${32^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = 0,{25.125^{\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}}$

Hướng dẫn làm bài:

a) ${(\frac{3}{4})^{2x - 3}} = {(\frac{4}{3})^{5 - x}}$

$\Leftrightarrow {(\frac{3}{4})^{2x - 3}} = {(\frac{3}{4})^{x - 5}}$

$\Leftrightarrow 2x - 3 = x - 5 \Leftrightarrow x =  - 2$

b)

$\begin{array}{l} {5^{{x^2} - 5x - 6}} = {5^0} \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 6 \end{array} \right. \end{array}$

c) 

$\begin{array}{l} {(\frac{1}{7})^{{x^2} - 2x - 3}} = {(\frac{1}{7})^{ - x - 1}} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = - x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}$

d) ${2^{5.\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = {2^{ - 2}}{.5^{3.\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}} <  =  > {2^{\frac{{5x + 25}}{{x - 7}} + 2}} = {5^{\frac{{3x + 51}}{{x - 3}}}} <  =  > {2^{\frac{{7x + 11}}{{x - 7}}}} = {5^{\frac{{3x + 51}}{{x - 3}}}}$

Lấy logarit cơ số 2 cả hai vế, ta được:

$\frac{{7x + 11}}{{x - 7}} = \frac{{3x + 51}}{{x - 3}}{\log _2}5 < = > \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {7{x^2} - 10x - 33 = (3{x^2} + 30x - 357){{\log }_2}5}\\ {x \ne 7,x \ne 3} \end{array}} \right.$

$<  =  > (7 - 3{\log _2}5){x^2} - 2(5 + 15{\log _2}5) - (33 - 357{\log _2}5) = 0$         

Ta có: $\Delta ‘ = {(5 + 15{\log _2}5)^2} + (7 - 3{\log _2}5)(33 - 357{\log _2}5)$

$= 1296\log _2^25 - 2448{\log _2}5 + 256 > 0$               

Phương trình đã cho có hai nghiệm: $x = \frac{{5 + 15{{\log }_2}5 \pm \sqrt {\Delta ‘} }}{{7 - 3{{\log }_2}5}}$  , đều thỏa mãn điều kiện