Bài 4 trang 85 giải tích 12: Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit...

Bài 4. Giải các phương trình lôgarit:

a)  ${1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}$

b)  ${1 \over 2}\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log 8{\rm{x}} - \log 4{\rm{x}}$

c)  ${\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4{\rm{x}}}}x + {\log _8}x = 13$

a)  ${1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 5{\rm{x}} > 0 \hfill \cr {1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right)  = \log 5{\rm{x}} - \log 5{\rm{x}}\hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr \log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {x^2} + x - 5 = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {x^2} + x - 6 = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr x = - 3;x = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2$ 

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 2$

b)  ${1 \over 2}\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log 8{\rm{x}} - \log 4{\rm{x}}$

$\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ 4{\rm{x > 0}} \hfill \cr {{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} - 1 > 0 \hfill \cr {1 \over 2}\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log {{8{\rm{x}}} \over {4{\rm{x}}}} \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} - 1 > 0 \hfill \cr {1 \over 2}\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log 2 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr \left[ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr x < 2 - \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = 2\log 2 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr \log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log {2^2} = \log 4 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr {x^2} - 4{\rm{x}} - 1 = 4 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr {x^2} - 4{\rm{x}} - 5 = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr x = - 1;x = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 5$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 5$

c)  ${\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4}}x + {\log _8}x = 13$

$\Leftrightarrow {\log _{{2^{{1 \over 2}}}}}x + 4{\log _{{2^2}}}x + {\log _{{2^3}}}x = 13$

$\Leftrightarrow 2{\log _2}x + 2{\log _2}x + {1 \over 3}{\log _2}x = 13$

 $\Leftrightarrow {{13} \over 3}{\log _2}x = 13 \Leftrightarrow {\log _2}x = 3 \Leftrightarrow x = {2^3} = 8$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 8$