Câu 3 trang 84 SGK Giải tích 12: Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit...

Giải các phương trình logarit

a) ${lo{g_3}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left( {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)}$

b) ${log\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}log\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}$

c) ${lo{g_2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3}$

d) ${log{\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)}$

a) ${lo{g_3}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left( {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)}$ (1)

TXD: $D = \left( {{{ - 3} \over 5}, + \infty } \right)$

Khi đó: (1) $⇔ 5x + 3 = 7x + 5 ⇔ x = -1$ (loại)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

b) ${log\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}log\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}$

TXD: $D = ({{11} \over 2}, + \infty )$

Khi đó:

$\eqalign{ & (2) \Leftrightarrow \lg {{x - 1} \over {2x - 11}} = \lg 2 \Leftrightarrow {{x - 1} \over {2x - 11}} = 2 \cr & \Rightarrow x - 1 = 4x - 22 \Leftrightarrow x = 7 \cr}$

Ta thấy $x = 7$ thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 7$

c) ${lo{g_2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3}$ (3)

TXD: $(5, +∞)$

Khi đó:

(3)$\Leftrightarrow {\log _2}(x - 5)(x + 2)=3$

$\Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)(x + 2) = 8$ 

$\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 6 \hfill \cr x = - 3 \hfill \cr} \right.$

 Loại $x = -3$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 6$

d) ${log{\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)}$ (4)

TXD: $D = (3 + \sqrt 2 , + \infty )$

Khi đó:

$\eqalign{ & (4) \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 7 = x - 3 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 5 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right. \cr}$

 Loại $x = 2$

Vậy phương trình (4) có nghiệm là $x = 5$.