Bài 2.34 trang 125 Sách bài tập Giải tích 12: Giải các phương trình sau bằng phương pháp đồ...

Giải các phương trình sau bằng phương pháp đồ thị:

a) ${\log _{\frac{1}{3}}}x = 3x$                                                                      

b) ${\log _3}x =  - x + 11$

c) ${\log _4}x = \frac{4}{x}$                                                                       

d) ${16^x} = {\log _{\frac{1}{2}}}x$

Hướng dẫn làm bài:

a) Vẽ đồ thị của hàm số ${\log _{\frac{1}{3}}}x = 3x$    và đường thẳng y = 3x trên cùng một hệ trục tọa độ (H.61), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ $x = \frac{1}{3}$

Thử lại, ta thấy giá trị này thỏa mãn phương trình đã cho. Mặt khác, hàm số $y = {\log _{\frac{1}{3}}}x$ luôn nghịch biến, hàm số  y = 3x luôn đồng biến. Vậy $x = \frac{1}{3}$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

b) Vẽ đồ thị của hàm số $y = {\log _3}x$ và đường thẳng y = - x + 11 trên cùng một hệ trục tọa độ (H.62) , ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 9. Lập luận tương tự câu a), ta cũng có đây là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

c) Vẽ đồ thị của các hàm số $y = {\log _4}x$ và $y = \frac{4}{x}$ trên cùng một hệ trục tọa độ (H.63), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 4. Ta cũng có hàm số $y = {\log _3}x$ luôn đồng biến, hàm số $y = \frac{4}{x}$ luôn nghịch biến trên $(0; + \infty )$ . Do đó, x = 4 là nghiệm duy nhất.

 6

d) Vẽ đồ thị của các hàm số $y = {16^x}$ và $y = {\log _{\frac{1}{2}}}x$ trên cùng một hệ trục tọa độ (H.64), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ $x = \frac{1}{4}$ . Thử lại, ta thấy $x = \frac{1}{4}$ thỏa mãn phương trình đã cho. Mặt khác, hàm số  luôn đồng biến, hàm số  luôn nghịch biến.

Vậy $x = \frac{1}{4}$ là nghiệm duy nhất của phương trình.