Bài 2.35 trang 125 SBT Giải tích 12: Giải các phương trình logarit...

Giải các phương trình logarit :

a) ${\log _2}({2^x} + 1).{\log _2}({2^{x + 1}} + 2) = 2$

b) ${x^{\log 9}} + {9^{\log x}} = 6$

c) ${x^{3{{\log }^3}x - \frac{2}{3}\log x}} = 100\sqrt[3]{{10}}$                                                          

d) $1 + 2{\log _{x + 2}}5 = {\log _5}(x + 2)$

Hướng dẫn làm bài:

a) ${\log _2}({2^x} + 1).{\log _2}{\rm{[}}2({2^x} + 1){\rm{]}} = 2$

$\Leftrightarrow {\log _2}({2^x} + 1).{\rm{[}}1 + {\log _2}({2^x} + 1){\rm{]}} = 2$

Đặt $t = {\log _2}({2^x} + 1)$ , ta có phương trình  

$t(1 + t) = 2 ⇔ {t^2} + t – 2 = 0$

$\eqalign{& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = 1} \cr {t = - 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{{\log }_2}({2^x} + 1) = 1} \cr {{{\log }_2}({2^x} + 1) = - 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{2^x} + 1 = 2} \cr {{2^x} + 1 = {1 \over 4}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{2^x} = 1} \cr {{2^x} = - {3 \over 4}(l)} \cr} } \right. \Leftrightarrow x = 0 \cr}$

b) Với điều kiện x > 0, ta có: $\log ({x^{\log 9}}) = \log ({9^{\log x}})$

$\log ({x^{\log 9}}) = \log 9.\log x$  và $\log ({9^{\log x}}) = \log x.\log 9$

Nên $\log ({x^{\log 9}}) = \log ({9^{\log x}})$   

Suy ra:

${t^4} + 14{t^2} - 32t + 17 = 0$

$\Leftrightarrow {(t - 1)^2}({t^2} + 2t + 17) = 0 \Leftrightarrow t = 1$  ${x^{\log 9}} = {9^{\log x}}$

Đặt $t = {x^{\log 9}}$  , ta được phương trình $2t = 6 ⇔ t = 3 ⇔ {x^{\log 9}} = 3$ 

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \log ({x^{\log 9}}) = \log 3 \cr & \Leftrightarrow \log 9.\log x = \log 3 \cr & \Leftrightarrow \log x = {{\log 3} \over {\log 9}} \cr & \Leftrightarrow \log x = {1 \over 2} \cr}$

$\Leftrightarrow x = \sqrt {10}$ (thỏa mãn điều kiện x > 0)

c) Với điều kiện x > 0, lấy logarit thập phân hai vế của phương trình đã cho, ta được:

    $(3{\log ^3}x - \frac{2}{3}\log x).\log x = \frac{7}{3}$               

Đặt $t = \log x$ , ta được phương trình $3{t^4} - \frac{2}{3}{t^2} - \frac{7}{3} = 0$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow 9{t^4} - 2{t^2} - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {t^2} = 1 \hfill \cr {t^2} = - {7 \over 9}\left( {loại} \right) \hfill \cr} \right.\left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = - 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \log x = 1 \hfill \cr \log x = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 10 \hfill \cr x = {1 \over {10}} \hfill \cr} \right. \cr}$

d) Đặt $t = {\log _5}(x + 2)$ với điều kiện $x + 2{\rm{ }} > 0,\,\,x + 2 \ne 1$ , ta có:

$\eqalign{& 1 + {2 \over t} = t \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0,t \ne 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = - 1} \cr {t = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{{\log }_5}(x + 2) = - 1} \cr {{{\log }_5}(x + 2) = 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x + 2 = {1 \over 5}} \cr {x + 2 = 25} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {9 \over 5}} \cr {x = 23} \cr} } \right.} \right. \cr}$