Bài 2.37 trang 126 SBT Giải tích 12: Giải phương trình:...

Giải phương trình: ${4^{2x + \sqrt {x + 2} }} + {2^{{x^3}}} = {4^{2 + \sqrt {x + 2} }} + {2^{{x^3} + 4x - 4}}$ (Đề thi đại học năm 2010, khối D)

Hướng dẫn làm bài:

Điều kiện: $x \ge  - 2$

Phương trình tương đương với:

$({2^{4x}} - {2^4})({2^{2\sqrt {x + 2} }} - {2^{{x^3} - 4}}) = 0$ . Suy ra:

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^{4x}} - {2^4} = 0}\\ {{2^{2\sqrt {x + 2} }} - {2^{{x^3} - 4}} = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {2\sqrt {x + 2} = {x^3} - 4} \end{array}} \right.$            

Nhận thấy $x \ge \sqrt[3]{4}$và phương trình có một nghiệm x = 2. Trên ${\rm{[}}\sqrt[3]{4}; + \infty )$ , hàm số  $f(x) = 2\sqrt {x + 2}  - {x^3} + 4$ có đạo hàm $f(x) = 2\sqrt {x + 2}  - {x^3} + 4$  nên f(x) luôn nghịch biến. Suy ra x = 2 là nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình có nghiệm x = 1; x = 2.