Bài 3.30 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba...

Lập phương trình của mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

Hướng dẫn làm bài:

Gọi giao điểm của $(\alpha )$  với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0 ; c)        (a, b, c > 0).

Mặt phẳng $(\alpha )$  có phương trình theo đoạn chắn là: ${x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1$            (1)

Do $(\alpha )$   đi qua M(1; 2; 3) nên ta thay tọa độ của điểm M vào (1): ${1 \over a} + {2 \over b} + {3 \over c} = 1$

Thể tích của tứ diện OABC là  $V = {1 \over 3}B.h = {1 \over 3}.{1 \over 2}OA.OB.OC = {1 \over 6}abc$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:  $1 = {1 \over a} + {2 \over b} + {3 \over c} \ge 3\root 3 \of {{6 \over {abc}}} \Rightarrow  1 \ge {{27.6} \over {abc}}$

$\Rightarrow abc \ge 27.6 \Rightarrow V \ge 27$

Ta có:  V đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow  V = 27 \Leftrightarrow  {1 \over a} = {2 \over b} = {3 \over c} = {1 \over 3} \Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{a = 3} \cr {b = 6} \cr {c = 9} \cr} } \right.$

Vậy phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ thỏa mãn đề bài là:

${x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1$  hay  6x + 3y + 2z – 18 = 0