Bài 3.6 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12: Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:...

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overline {BC}$                                   

b)$\overrightarrow {AB}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC}  + {1 \over 2}\overrightarrow {AD}  + {1 \over 2}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB}$

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có: $\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC}$

            $\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}$   

Do đó: $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}$  vì $\overrightarrow {DC}  =  - \overrightarrow {CD}$

b) Vì $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB}$  và $\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD}$ nên $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB}$

Do đó: $2\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CD}  + 2\overrightarrow {DB}$

Vậy  $\overrightarrow {AB}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC}  + {1 \over 2}\overrightarrow {AD}  + {1 \over 2}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB}$