Advertisements (Quảng cáo)
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {MN} \)
b) \(\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {PQ} \)
Hướng dẫn làm bài:
a) Ta có MPNQ là hình bình hành vì \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {QN} = {1 \over 2}\overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {PN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \).
Do đó \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MP} = {{\overrightarrow {AB} } \over 2} + {{\overrightarrow {CD} } \over 2}\) hay \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \) (1)
Mặt khác \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} \)
\(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)
Nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \) (2)
Vì \(\overrightarrow {DB} = – \overrightarrow {BD} \)
Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {MN} \) là đẳng thức cần chứng minh.
b) Ta có: \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {MQ} – \overrightarrow {MP} = {{\overrightarrow {AB} } \over 2} – {{\overrightarrow {CD} } \over 2}\)
Do đó: \(2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {CD} \) (3)
Mặt khác: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} \)
\(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} – \overrightarrow {BC} \)
Nên \(\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {BD} \) (4)
Vì \(\overrightarrow {CB} – ( – \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow 0 \)
Từ (3) và (4) ta suy ra \(\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {PQ} \) là đẳng thức cần chứng minh.