Trong không gian Oxyz cho một vecto \(\overrightarrow a \) tùy ý khác vecto \(\overrightarrow 0 \). Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto \(\overrightarrow a \) . Chứng minh rằng: \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\)
Hướng dẫn làm bài:
Gọi \(\overrightarrow {{a_0}} \) là vecto đơn vị cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) , ta có \(\overrightarrow {{a_0}} = {1 \over {|\overrightarrow a |}}\overrightarrow a \).
Gọi \(\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {{a_0}} \) và các điểm A1, A2, A3 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A0 trên các trục Ox, Oy, Oz.
Advertisements (Quảng cáo)
Khi đó ta có: \({{|\overrightarrow {O{A_1}} |} \over {|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \alpha ,{{|\overrightarrow {O{A_2}} |} \over {|\overrightarrow {O{A_0}|} }} = \cos \beta ,{{|\overrightarrow {O{A_3}} |} \over {|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \gamma \)
Vì \(|\overrightarrow {O{A_0}} | = 1\) nên \(|\overrightarrow {O{A_1}} | = \cos \alpha ,|\overrightarrow {O{A_2}} | = \cos \beta ,|\overrightarrow {O{A_3}} | = \cos \gamma \)
Ta có \(\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{B_2}} + \overrightarrow {O{A_3}} \) , ta suy ra: \(\overrightarrow {O{A_0}} = \cos \alpha \overrightarrow i + \cos \beta \overrightarrow j + \cos \gamma \overrightarrow k \) hay \(\overrightarrow {O{A_0}} = (\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma )\) .
Vì \(\overrightarrow {O{A_0}} = \overrightarrow {{a_0}} \) mà \(|\overrightarrow {{a_0}} | = 1\) nên ta có: \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\)