Giải các phương trình sau:
a) \({({{13} \over {24}})^{3x + 7}} = {({{24} \over {13}})^{2x + 3}}\)
b) \({(4 - \sqrt {15} )^{\tan x}} + {(4 + \sqrt {15} )^{\tan x}} = 8\)
c) \({(\root 3 \of {6 + \sqrt {15} } )^x} + {(\root 3 \of {7 - \sqrt {15} } )^x} = 13\)
Hướng dẫn làm bài:
a) Phương trình đã cho tương đương với
\({\left( {{{13} \over {24}}} \right)^{3x + 7}} = {\left( {{{13} \over {24}}} \right)^{ - \left( {2x + 3} \right)}}\)
\(\Leftrightarrow 3x + 7 = –2x – 3\Leftrightarrow x = –2\)
b) Vì \((4 - \sqrt {15} )(4 + \sqrt {15} ) = 1\) nên ta đặt \({(4 - \sqrt {15} )^{\tan x}} = t(t > 0)\) , ta được phương trình
\(\;{t^2}-{\rm{ }}8t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = 4 + \sqrt {15} } \cr {t = 4 - \sqrt {15} } \cr} } \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
+) Ứng với \(t = 4 - \sqrt {15} \) , ta có
\({(4 - \sqrt {15} )^{tanx}} = 4 - \sqrt {15}\)
\(\Leftrightarrow \tan = 1 \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z\)
+) Ứng với \(t = 4 + \sqrt {15} \) , ta có
\({(4 - \sqrt {15} )^{tanx}} = 4 + \sqrt {15}\)
\( \Leftrightarrow \tan = - 1 \Leftrightarrow x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = {\pi \over 4} + k{\pi \over 2},k \in Z\)
c) Ta nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình. Mặt khác, hàm số
\(f(x) = {(\root 3 \of {6 + \sqrt {15} } )^x} + {(\root 3 \of {7 - \sqrt {15} } )^x}\)
Là tổng của hai hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1 (hai hàm số đồng biến) nên f(x) đồng biến trên R. Do đó, x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình.