Giải các bất phương trình sau:
a) \({({1 \over 2})^{{{\log }_{{1 \over 3}}}({x^2} - 3x + 1)}} < 1\)
b) \(4{x^2} + {3.3^{\sqrt x }} + x{.3^{\sqrt x }} < 2{x^2}{.3^{\sqrt x }} + 2x + 6\)
c) \({\log _x}4.{\log _2}{{5 - 12x} \over {12x - 8}} \ge 2\)
Hướng dẫn làm bài:
a) Điều kiện \(\left[ {\matrix{{x > {{3 + \sqrt 5 } \over 2}} \cr {x < {{3 - \sqrt 5 } \over 2}} \cr} } \right.\)
Vì \(0 < {1 \over 2} < 1\) và \(1 = {({1 \over 2})^0}\) nên ta có:
\({({1 \over 2})^{{{\log }_{{1 \over 3}}}({x^2} - 3x + 1)}} < 16\)
\(\Leftrightarrow {\log _{{1 \over 3}}}({x^2} - 3x + 1) > 0\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 < 1 \Leftrightarrow 0 < x < 3\)
Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\left[ {\matrix{{0 < x < {{3 - \sqrt 5 } \over 2}} \cr {{{3 + \sqrt 5 } \over 2} < x < 3} \cr} } \right.\)
b) Ta có bất phương trình đã cho tương đương với
\(4{x^2} + {3.3^{\sqrt x }} + x{.3^{\sqrt x }} - 2{x^2}{.3^{\sqrt x }} - 2x - 6 < 0\)
\(\Leftrightarrow (3 + x - 2{x^2}){3^{\sqrt x }} - 2(x - 2{x^2} + 3) < 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\Leftrightarrow ( - 2{x^2} + x + 3)({3^{\sqrt x }} - 2) < 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\left\{ {\matrix{{{3^{\sqrt x }} - 2 < 0} \cr { - 2{x^2} + x + 3 > 0} \cr {x \ge 0} \cr}\,\,\,\, (1)} \right.} \cr {\left\{ {\matrix{{{3^{\sqrt x }} - 2 > 0} \cr { - 2{x^2} + x + 3 < 0} \cr {x \ge 0} \cr}\,\,\,\, (2)} \right.} \cr} } \right.\)
\((1) \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x < \log _3^22} \cr {x \ge 0} \cr { - 1 < x < {3 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow 0 \le x < \log _3^22\) (vì \(\log _3^22 < 1 < {3 \over 2}\))
\((2) \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x > \log _3^22} \cr {x \ge 0} \cr {\left[ {\matrix{{x < - 1} \cr {x > {3 \over 2}} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow x > {3 \over 2}\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(0 \le x < \log _3^22\) hoặc \(x > {3 \over 2}\)
c) Điều kiện: \(\left\{ {\matrix{{x > 0} \cr {x \ne 1} \cr {{{5 - 12x} \over {12x - 8}} > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow {5 \over {12}} < x < {2 \over 3}\,\,\,\,(*)\)
Bất phương trình đã cho tương đương với
\({2 \over {{{\log }_2}x}}.{\log _2}{{5 - 12x} \over {12x - 8}} \ge 2 \Leftrightarrow {\log _2}{{5 - 12x} \over {12x - 8}} \le {\log _2}x\)
(vì khi \(x \in ({5 \over {12}};{2 \over 3})\) thì \({\log _2}x < 0\) )
\( \Leftrightarrow {{5 - 12x} \over {12x - 8}} - x \le 0\)
\(\Leftrightarrow {{(6x + 5)(1 - 2x)} \over {12x - 8}} \le 0\)
\(\left[ {\matrix{{ - {5 \over 6} \le x \le {1 \over 2}} \cr {x > {2 \over 3}} \cr} } \right.\).
Kết hợp với điều kiện (*), ta có \({5 \over {12}} < x \le {1 \over 2}\)