Câu 3.31 trang 186 sách bài tập - Giải tích 12: Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng...

Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi

a) $y = {x^{{2 \over 3}}},x = 0$ và tiếp tuyến với đường $y = {x^{{2 \over 3}}}$ tại điểm có hoành độ x = 1, quanh trục Oy;

b) $y = {1 \over x} - 1,y = 0,y = 2x$, quanh trục Ox

c) y = |2x – x²|, y = 0 và x = 3 , quanh :

                               * Trục Ox

                               * Trục Oy

Hướng dẫn làm bài

a) ${\pi  \over {36}}$ .

Phương trình tiếp tuyến là:  $y = {2 \over 3}x + {1 \over 3}$

$V = \pi \int\limits_0^1 {{y^3}dy} - \pi \int\limits_{{1 \over 3}}^1 {{{({3 \over 2}y - {1 \over 2})}^2}dy}$

$= {\pi \over 4} - {{2\pi } \over 9}{({3 \over 2}y - {1 \over 2})^3}\left| {\matrix{1 \cr {{1 \over 3}} \cr} = {\pi \over {36}}} \right.$

b) $\pi ({5 \over 3} - 2\ln 2)$

c) ${V_x} = {{18} \over 5}\pi$  và  ${V_y} = {{59} \over 6}\pi$

${V_y} = \pi {\rm{\{ }}\int\limits_0^1 {{\rm{[(}}1 + \sqrt {1 - y} {)^2} - {{(1 - \sqrt {1 - y} )}^2}{\rm{]}}} dy + \int\limits_0^3 {{\rm{[}}9 - {{(1 + \sqrt {1 + y} )}^2}{\rm{]}}dy\} }$

$= \pi {\rm{[}}\int\limits_0^1 {4\sqrt {1 - y} dy + \int\limits_0^3 {(7 - y - 2\sqrt {1 + y} )dy] = {{59\pi } \over 6}} }$