Câu 3.30 trang 186 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12: Tính diện tich các hình phẳng giới hạn bởi các đường...

Tính diện tich các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) $y = x - 1 + {{\ln x} \over x},y = x - 1$  và x = e;

b) y = x³ – x²   và $y = {1 \over 9}(x - 1)$;

c) $y = 1 - \sqrt {1 - {x^2}}$  và y = x²

Hướng dẫn làm bài

a) ${1 \over 2}$

b) ${8 \over {81}}$ . HD: Đường thẳng $y = {1 \over 9}(x - 1)$ đi qua tâm đối xứng $I({1 \over 3}; - {2 \over {27}})$ của hàm số y = x³ – x² .

Do đó, hình phẳng giới hạn bởi hai đường đã cho gồm hai hình vẽ đối xứng nhau qua điểm I (hình 85).

Vậy :  $S = 2\int\limits_{ - {1 \over 3}}^{{1 \over 3}} {{\rm{[}}({x^3} - {x^2}) - {1 \over 9}(x - 1){\rm{]}}dx}$

$= 4\int\limits_0^{{1 \over 3}} {({1 \over 9} - {x^2})dx = {8 \over {81}}}$

(theo bài 3.14. $\int\limits_{ - {1 \over 3}}^{{1 \over 3}} {({x^3} - {1 \over 9}x)dx = 0}$)

c) ${\pi  \over 2} - {4 \over 3}$