Câu 3.32 trang 187 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12: Hãy chỉ ra các kết quả đúng trong các kết quả...

 Hãy chỉ ra các kết quả đúng trong các kết quả sau:

a) $(\int\limits_0^1 {{x^n}{{(1 - x)}^m}dx = \int\limits_0^1 {{x^m}{{(1 - x)}^n}} } dx;m,n \in {N^*}$

b) $\int\limits_{ - 1}^1 {{{{t^2}} \over {{e^t} + 1}}} dt = \int\limits_0^1 {{t^2}dt}$

c) $\int\limits_0^1 {{{\sin }^3}x\cos xdx = } \int\limits_0^1 {{t^3}} dt$

Hướng dẫn làm bài

a) Đúng

b) Ta có:   $\int\limits_{ - 1}^1 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}}  = \int\limits_{ - 1}^0 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}}  + \int\limits_0^{ - 1} {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}}$               (*)

Dùng phương pháp đổi biến  t = - x đối với tích phân $\int\limits_{ - 1}^0 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}}$ , ta được:

                  $\int\limits_{ - 1}^0 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}}}  = \int\limits_0^1 {{{{x^2}dx} \over {{e^{ - x}} + 1}} = \int\limits_0^1 {{{{t^2}dt} \over {{e^{ - t}} + 1}}} }$

Thay vào (*) ta có: $\int\limits_{ - 1}^1 {{{{t^2}dt} \over {{e^t} + 1}} = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} }$

c) Sai.