Bài 4 trang 51 Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Cho hình chóp S. ABCD. Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC và J là trọng tâm...

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC và J là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh rằng $2\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + 2\overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 3(\overrightarrow {SI} + \overrightarrow {SJ} )$

Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác và quy tắc 3 điểm

Xét S.ABC: $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {IC} = 3\overrightarrow {SI} + (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} )$

Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$

=> $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SI}$

Xét S.ACD: $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SJ} + \overrightarrow {JA} + \overrightarrow {SJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {SJ} + \overrightarrow {JD} = 3\overrightarrow {SJ} + (\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} )$

Vì J là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} = \overrightarrow 0$

=> $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 3\overrightarrow {SJ}$

Ta có: $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 3\overrightarrow {SI} + 3\overrightarrow {SJ} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + 2\overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 3(\overrightarrow {SI} + \overrightarrow {SJ} )$