Bài 14 trang 65 Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(0; –2; 3). Tính độ dài đường cao AH hạ từ đỉnh...

Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(0; –2; 3).

a) Tính độ dài đường cao AH hạ từ đỉnh A của tam giác OAB với O là gốc toạ độ.

b) Tính diện tích tam giác OAB.

a) $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0$. Công thức tính độ lớn vecto: $|\overrightarrow a | = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}$

b) ${S_{OAB}} = \frac{1}{2}AH.OB = \frac{1}{2}|\overrightarrow {AH} |.|\overrightarrow {OB} |$

a) Ta có: $\overrightarrow {OB} = (0; - 2;3)$

Gọi H(x;y;z) là chân đường cao kẻ từ A của tam giác OAB

=> $\overrightarrow {OH} = (x;y;z)$

$\overrightarrow {OH}$ cùng phương với $\overrightarrow {OB}$ nên $x = 0;y = - 2t;z = 3t$ => $H(0; - 2t;3t)$

Ta có: $\overrightarrow {AH} = ( - 1; - 2t - 2;3t + 1)$

$\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {OB} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {OB} = 0 \Leftrightarrow - 1.0 - 2.( - 2t - 2) + 3.(3t + 1) = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{7}{{13}}$

Vậy $H(0;\frac{{14}}{{13}};\frac{{ - 21}}{{13}})$

b) $\overrightarrow {AH} = ( - 1; - \frac{{12}}{{13}}; - \frac{8}{{13}}) \Rightarrow AH = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - \frac{{12}}{{13}})}^2} + {{( - \frac{8}{{13}})}^2}} = \frac{{\sqrt {377} }}{{13}}$

$\overrightarrow {OB} = (0; - 2;3) \Rightarrow OB = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {3^2}} = \sqrt {13}$

Diện tích tam giác OAB: ${S_{OAB}} = \frac{1}{2}AH.OB = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt {377} }}{{13}}.\sqrt {13} = \frac{{\sqrt {29} }}{2}$