Bài tập 2.18 trang 79 Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC. Biết tọa độ các đỉnh là A(0;1;1), B(0;1;2), C( - 1;1;1)...

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC. Biết tọa độ các đỉnh là $A(0;1;1)$, $B(0;1;2)$, $C( - 1;1;1)$.

a) Tính độ dài các cạnh của tam giác.

b) Tính $\widehat {ABC}$.

a) Độ dài các cạnh được tính bằng công thức:

$AB = \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2} + {{({z_B} - {z_A})}^2}}$

b) Sử dụng công thức tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BC}$:

$\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}$

a) Độ dài các cạnh:

$AB = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(1 - 1)}^2} + {{(2 - 1)}^2}} = \sqrt 1 = 1$

$BC = \sqrt {{{(0 - ( - 1))}^2} + {{(1 - 1)}^2} + {{(2 - 1)}^2}} = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2$

$CA = \sqrt {{{(0 - ( - 1))}^2} + {{(1 - 1)}^2} + {{(1 - 1)}^2}} = \sqrt 1 = 1$

b) Tích vô hướng và độ lớn:

$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = (0;0;1) \cdot ( - 1;0; - 1) = 0 \times ( - 1) + 0 \times 0 + 1 \times ( - 1) = - 1$

$\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 1,\quad \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt 2$

$\cos \theta = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}\quad \Rightarrow \quad \theta = {135^\circ }$