Trong không gian Oxyz, cho \(\vec a = (1;0;1)\), \(\vec b = (1;1;0)\) và \(\vec c = ( - 4;3;m)\).
a) Tìm góc giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).
b) Tìm m để vectơ \(\vec d = 2\vec a + 3\vec b\) vuông góc với \(\vec c\).
a) Sử dụng công thức tích vô hướng để tính góc: \(\cos \theta = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{\left| {\vec a} \right|\left| {\vec b} \right|}}\)
b) Điều kiện để \(\vec d\) vuông góc với \(\vec c\) là: \(\vec d \cdot \vec c = 0\)
a) Tính góc giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\):
\(\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \)
Góc giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) được tính bởi:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\cos \theta = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{\left| {\vec a} \right|\left| {\vec b} \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 \times \sqrt 2 }} = \frac{1}{2}\)
Vậy \(\theta = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{2}} \right) = {60^\circ }\).
b) Tìm \(m\) để vectơ \(\vec d = 2\vec a + 3\vec b\) vuông góc với \(\vec c\):
Tọa độ của \(\vec d\) là:
\(\vec d = 2\vec a + 3\vec b = 2(1;0;1) + 3(1;1;0) = (2 + 3;0 + 3;2 + 0) = (5;3;2)\)
Điều kiện để \(\vec d\) vuông góc với \(\vec c\) là:
\(\vec d \cdot \vec c = 5 \times ( - 4) + 3 \times 3 + 2 \times m = 0\)
Giải phương trình: \( - 20 + 9 + 2m = 0\)
\(2m = 11\)
\(m = \frac{{11}}{2}\)
Vậy \(m = \frac{{11}}{2}\) là giá trị cần tìm.