Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A’B’C’. O là giao điểm của hai đường thẳng AB’ và A’B.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng GO và CG’ song song với nhau.
b) Tính độ dài của →GOtrong trường hợp ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ đứng, cạnh bên AA’ = 3 và đáy là tam giác đều có cạnh bằng 2.
- Tìm k (k≠0) sao cho →GO=k→CG′ thì hai đường thẳng GO // CG’ bằng quy tắc trọng tâm tam giác và quy tắc trung điểm của vectơ.
- Tính độ dài của →CG′ rồi suy ra độ dài của →GO.
Hình bình hành AA’B’B có O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm của AB’. Do đó: 2→GO=→GA+→GB′=→GA+→GG′+→G′B′.
Advertisements (Quảng cáo)
Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ có G, G’ lần lượt là trọng tâm của hai đáy nên: →G′B′=→GB,→GG′=→CC′,→G′C′=→GC.
Suy ra: 2→GO=→GA+→CC′+→GB=→GA+→CG′+→G′C′+→GB=→GA+→CG′+→GC+→GB.
Áp dụng quy tắc trọng tâm của vectơ vào tam giác ABC, ta có: →GA+→GB+→GC=→0.
Suy ra: 2→GO=(→GA+→GC+→GB)+→CG′=→0+→CG′=→CG′.
Vì tồn tại k=12≠0 nên GO và CG’ song song với nhau.
b)
Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ là lăng trụ đứng nên tam giác CC’G’ vuông tại C’, ta có: CG’ = \sqrt {CC{‘^2} + C’G{‘^2}} .
Mà G’ là trọng tâm của tam giác đều A’B’C’ nên: C’G’ = \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.2 = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.
Suy ra: CG’ = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {93} }}{3}.
Từ câu a ta thấy \overrightarrow {GO} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CG’} nên \left| {\overrightarrow {GO} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {CG’} } \right| = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt {93} }}{3} = \frac{{\sqrt {93} }}{6}.