Luyện tập 1 Toán 12 - Cùng khám phá: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau...

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y = f(x) = - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3$

b) $y = f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1$

- Tìm tập xác định của hàm số

- Xét sự biến thiên của hàm số

- Vẽ đồ thị hàm số

a)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 - \frac{2}{x} - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 - \frac{2}{x} - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty$

${y^\prime } = 0 \leftrightarrow - 3{x^2} + 4x + 4 = 0 \leftrightarrow x = 2{\rm{ }}$hoặc $x = - \frac{2}{3}$

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - \infty - \frac{2}{3})$ và $(2; + \infty )$, đồng biến trên khoảng $( - \frac{2}{3};2)$.

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - \frac{2}{3},{y_{CT}} = - \frac{{121}}{{27}}.$

Hàm số đạt cực đại tại $x = 2,{y_{CD}} = 5.$

- Vẽ đồ thị:

Giao điểm với trục Oy là $(0, - 3)$.

Giao điểm với trục Ox là $(3,0)\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0} \right),\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2},0} \right)$.

b)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty .$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty .$

Ta có:

${y^\prime } = {x^2} - 2x + 1$

${y^\prime } = 0 \leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \leftrightarrow x = 1$

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên R

Cực trị: Vì hàm số đồng biến trên R nên hàm số không có điểm cực trị

- Vẽ đồ thị:

Giao điểm với trục Oy là (0,1).

Giao điểm với trục Ox là (−0.5874,0).