Luyện tập 2 Toán 12 - Cùng khám phá: Cho hàm số y = f(x) = √ x^2 + 1 /x + 1 có đồ thị là đường cong như hình 1.20...

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 1}}$ có đồ thị là đường cong như hình 1.20. Hãy xác nhận các đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của hàm số đã cho.

Xét $f(x).$

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right)\;$=$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 1}} = - \infty \;$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right)\;$=$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 1}} = + \infty \;$

Suy ra x = - 1 là đường tiệm cận đứng của hàm số.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\; = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} = 1\;\;$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)\; = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} = 1\;\;$

Suy ra y = 1 là đường tiệm cận ngang của hàm số.