Mục 1 trang 2,3,4 Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá: Hình 1.2 là đồ thị (C) của hàm số y = f(x) = - 1/2/x^2 + 3 Quan sát...

Hoạt động (HĐ) 1

Hình 1.2 là đồ thị (C) của hàm số $y = f(x) = \frac{{ - 1}}{2}{x^2} + 3$

a) Quan sát đồ thị hàm số (C) và chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho.

b) Xác định dấu của đạo hàm $f'(x)$ khi $x$thuộc các khoảng đồng biến, nghịch biến ở câu.

c) Ghi lại và hoàn thành bảng biến thiên sau

a) Sử dụng khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)

Hàm số $y = f(x)$gọi là đồng biến trên khoảng $(a;b)$ nếu với mọi ${x_1},{x_2} \in (a;b)$ mà \({x_1}

Hàm số $y = f(x)$ gọi là nghịch biến trên khoảng $(a;b)$ nếu với mọi ${x_1},{x_2} \in (a;b)$ mà ${x_1} > {x_2}$ thì ta có \(f({x_1})

b) Chọn vài giá trị của x nằm trong khoảng đồng biến , nghịch biến ở câu a rồi thay vào $f'(x)$xem $f'(x)$ có giá trị âm hay dương.

c) Áp dụng kết quả câu a và câu b rồi điền vào

a) Hàm số $y = f(x)$ xác định trên R

Nhìn hình 1.2 ta thấy:

Hàm số $f(x) = \frac{{ - 1}}{2}{x^2} + 3$ đồng biến trên khoảng $( - \infty ;0)$

Hàm số $f(x) = \frac{{ - 1}}{2}{x^2} + 3$ nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty )$

b) Ta có $f'(x) = - x$

Ta thấy: Với $x > 0$thì \(f'(x)

Với $x 0$

c)

Luyện tập (LT) 1

Lập bảng biến thiên và kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

a) $y = f(x) = \frac{{2x - 1}}{{x + 3}}$

b) $y = f(x) = \cos x$ trên khoảng $(0;2\pi )$

Bước 1: Xét $f'(x) = 0$qua đó tìm x

Bước 2: Xét dấu $f'(x)$

Bước 3: lập bảng biến thiên

a) $y = f(x) = \frac{{2x - 1}}{{x + 3}}$

Hàm số trên xác định trên R\ {-3}

Ta có: $f'(x) = \frac{{2(x + 3) - (2x - 1)}}{{{{(x + 3)}^2}}}$

$f'(x) = \frac{7}{{{{(x + 3)}^2}}}$

Vì $f'(x) > 0$với $\forall x \ne - 3$ từ đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có,

Hàm số $y = f(x) = \frac{{2x - 1}}{{x + 3}}$ đồng biến trên khoảng $( - \infty ; - 3)$và $( - 3; + \infty )$

b) $y = f(x) = \cos x$ trên khoảng $(0;2\pi )$

Hàm số trên xác định trên R

Ta có $y = f'(x) = - \sin x$

Xét $f'(x) = - \sin x = 0$ $\Rightarrow x = k\pi$

Mà $x \in (0;2\pi )$ $\Rightarrow x = \pi$

Khi đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có

Hàm số $f(x) = \cos x$ đồng biến trên khoảng$(\pi ;2\pi )$

Hàm số $f(x) = \cos x$ nghịch biến trên khoảng$(0;\pi )$

Hoạt động (HĐ) 2

Cho hàm số $y = f(x) = {x^3} + 1$

a) Bằng định nghĩa, hãy cho biết hàm $f(x)$có đồng biến trên $R$ hay không

b) Hãy nhận xét về dấu của đạo hàm $f'(x)$ trên $R$

a) Gọi ${x_1}$, ${x_2}$ sao cho ${x_1},{x_2} \in R$ và${x_1} > {x_2}$

Xét dấu của $f({x_1}) - f({x_2})$

b) Tính $f'(x)$ qua đó xét dấu của $f'(x)$

a) Gọi ${x_1}$, ${x_2}$ sao cho ${x_1},{x_2} \in R$và ${x_1} > {x_2}$

Ta có: $f({x_1}) - f({x_2})$= $({x_1} + 1) - ({x_2} + 1)$= ${x_1} - {x_2}$

Mà ${x_1} > {x_2}$ $\Rightarrow {x_1} - {x_2} > 0$

Nên $f({x_1}) - f({x_2}) > 0$ $\Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})$

Suy ra hàm số $y = f(x) = {x^3} + 1$ đồng biến trên $R$

b) Ta có: $f'(x) = 3{x^2}$

Vì $3{x^2} > 0$ với $\forall x \in R$

Nên $f'(x) > 0$ với $\forall x \in R$

Luyện tập (LT) 2

Xét tính đơn điệu của hàm số $y = \sin x - x$trên khoảng $( - \pi ;\pi )$

Bước 1: tính đạo hàm $y’$

Bước 2: xét dấu $y’$ rồi lập bảng biến thiên

Bước 3: Từ bảng biến thiên nhận xét tính đơn điệu của hàm số

Hàm số đã cho xác định trên

Ta có: $y’ = \cos x - 1$

Vì $\cos x \le 1$với $\forall x \in R$

Nên $y’ \le 0$với $\forall x \in R$và $y’ = 0$tại $x = 0$

Khi đó ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \pi ;\pi )$