Mục 3 trang 19, 20, 21 Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá: Trong Hình 1.21, đường cong là đồ thị ( C ) của hàm số y = f(x) = x...

Hoạt động (HĐ) 3

Trong Hình 1.21, đường cong là đồ thị ( C ) của hàm số $y = f(x) = x + \frac{x}{{{x^2} - 1}}$ và đường thẳng $\Delta :y = x$ . Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc ( C ) và$\Delta$ có cùng hoành độ x, với x > 1 hoặc x

Nhìn vào đồ thị rồi nhận xét.

Khi $x \to - \infty$ và $x \to + \infty$ thì độ dài MN càng ngắn.

Luyện tập (LT) 3

Sử dụng ghi chú ở trên, tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{{ - {x^2} - 3x - 3}}{{x + 1}}$.

Phân tích hàm số rồi áp dụng ghi chú: hàm số $y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}$ ($a \ne 0,m \ne 0$ đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu) luôn được viết dưới dạng $y = px + q + \frac{r}{{mx + n}}$$(p,q,r \in R)$.Khi đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = - \frac{n}{m}$là và đường tiệm cận xiên là $y = px + q.$

Ta có $y = f(x) = \frac{{ - {x^2} - 3x - 3}}{{x + 1}}$$= - x - 2 - \frac{1}{{x + 1}}.$

Áp dụng ghi chú hàm số $y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}$ ($a \ne 0,m \ne 0$ đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu) luôn được viết dưới dạng $y = px + q + \frac{r}{{mx + n}}$$(p,q,r \in R)$.Khi đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là $y = px + q$, khi đó đường tiệm cận xiên của hàm số là $y = - x - 2.$

Vận dụng (VD) 1

Trong phần Khởi động đầu bài, tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $m(v) = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}$, từ đó nhận xét khối lượng của vật khi vận tốc của nó càng gần vận tốc ánh sáng.

Tìm giới hạn của khối lượng m(v) khi vận tốc v tiến gần đến tốc độ ánh sáng c.

Xét $m(v) = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{N}\backslash \{ c\}$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ + }} m(v) = \mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ + }} \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ + }} \frac{{\frac{{{m_0}}}{v}}}{{\sqrt {\frac{1}{{{v^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{{\frac{{{m_0}}}{c}}}{{\sqrt {\frac{1}{{{c^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}} }} = + \infty .$

$\mathop {\lim }\limits_{v \to c - } m(v) = \mathop {\lim }\limits_{v \to {c^ - }} \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{v \to c - } \frac{{\frac{{{m_0}}}{v}}}{{\sqrt {\frac{1}{{{v^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{{\frac{{{m_0}}}{c}}}{{\sqrt {\frac{1}{{{c^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}} }} = + \infty .$

Vậy đường thẳng x = c là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Khi vận tốc của vật tiến dần đến tốc độ ánh sáng, khối lượng của vật càng lớn.

Vận dụng (VD) 2

Một ống khói của nhà máy điện hạt nhân có mặt cắt là một hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{{{x^2}}}{{{{27}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{40}^2}}} = 1$ (Hình 1.25). Hét hai nhánh bên trên Ox của (H) là đồ thị (C) của hàm số $y = \frac{{40}}{{27}}\sqrt {{x^2} - {{27}^2}}$ (phần nét liền đậm). Chứng minh rằng đường thẳng $y = \frac{{40}}{{27}}x$ là một đường tiệm cận của (C). Hãy chỉ ra them một đường tiệm cận xiên khác của (C).

Chứng minh $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{40}}{{27}}\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} - \frac{{40}}{{27}}x} \right) = 0$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{40}}{{27}}\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} - \frac{{40}}{{27}}x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{40}}{{27}}\left( {\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} - x} \right)} \right] = \frac{{40}}{{27}}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} - x} \right)$

$= \frac{{40}}{{27}}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{40}}{{27}}.\frac{{{x^2} - {{27}^2} - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{40}}{{27}}.\left( {\frac{{ - {{27}^2}}}{{\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} + x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 40.27}}{{\sqrt {{x^2} - {{27}^2}} + x}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 40.27}}{{x\sqrt {1 - \frac{{{{27}^2}}}{{{x^2}}}} + x}} = 0.$

Vậy $y = \frac{{40}}{{27}}x$ là tiệm cận xiên của (C).

Tương tự, một tiệm cận xiên khác của (C) là $y = - \frac{{40}}{{27}}x$.