Bài 1.31 trang 42 Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$? A. $y = - {x^3} + 3{x^2} - 9x$;B...

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$?A. $y = - {x^3} + 3{x^2} - 9x$;B. $y = - {x^3} + x + 1$;C. $y = \frac{{x - 1}}{{x - 2}}$;D. $y = 2{x^2} + 3x + 2$.

Sử dụng kiến thức về định lí về tính nghịch biến của hàm số để tìm đáp án đúng: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên khoảng (a; b). Nếu $f’\left( x \right) < 0$ với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên (a; b).

Hàm số $y = - {x^3} + 3{x^2} - 9x$ có:

$y’ = - 3{x^2} + 6x - 9 = - 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 6 = - 3{\left( {x - 1} \right)^2} - 6 < 0\;\forall x \in \mathbb{R}$

Do đó, hàm số $y = - {x^3} + 3{x^2} - 9x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Chọn A.