Bài 16 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:...

Bài 16. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x$

TXĐ: $D=\mathbb R$

$\eqalign{ & f\left( x \right) = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x \cr}$

Vì $0 \le {\sin ^2}2x \le 1$ nên: $\,\,f\left( x \right) \le 1$ với mọi $x \in {\mathbb{R}},f\left( 0 \right) = 1$. Vậy $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}}  = 1$

$*\,\,\,f\left( x \right) \ge {1 \over 2}$ với mọi $x \in {\mathbb{R}},f\left( {{\pi  \over 4}} \right) = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2}$

Vậy $\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}}  = {1 \over 2}$.