Advertisements (Quảng cáo)
Bài 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x – 5\) trên đoạn \(\left[ { – 2;3} \right]\);
b) \(f\left( x \right) = {{{x^3}} \over 3} + 2{x^2} + 3x – 4\) trên đoạn \(\left[ { – 4;0} \right]\);
c) \(f\left( x \right) = x + {1 \over x}\) trên đoạn \(\left( {0; + \infty } \right)\);
d) \(f\left( x \right) = – {x^2} + 2x + 4\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\);
e) \(f\left( x \right) = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\);
f) \(f\left( x \right) = x – {1 \over x}\) trên đoạn \(\left( {0;2} \right]\);
a) \(D = \left[ { – 2;3} \right];f’\left( x \right) = 2x + 2;f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x=- 1 \in \left[ { – 2;3} \right]\)
Ta có: \(f\left( { – 2} \right) = – 5;f\left( { – 1} \right) = – 6;f\left( 3 \right) = 10\).
Vậy: \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { – 2;3} \right]} = – 6;\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,f\left( x \right) = 10}\limits_{x \in \left[ { – 2;3} \right]} \).
b)
\(D = \left[ { – 4;0} \right];\,f’\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3;f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 1 \in \left[ { – 4;0} \right] \hfill \cr
x = – 3 \in \left[ { – 4;0} \right] \hfill \cr} \right.\)
Ta có: \(f\left( { – 4} \right) = – {{16} \over 3};f\left( { – 1} \right) = – {{16} \over 3};f\left( { – 3} \right) = – 4;f\left( 0 \right) = – 4\)
Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { – 4;0} \right]} = – {{16} \over 3};\,\,\mathop {\max \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { – 4;0} \right]} = – 4\).
c) \(D = \left( {0; + \infty } \right);f’\left( x \right) = 1 – {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} – 1} \over {{x^2}}}\)với mọi \(x \ne 0,f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(x=1\in \left\{ {0; + \infty } \right.)\)
\(x=-1\not\in \left\{ {0; + \infty } \right.)\)
\(\mathop {\min \,\,f\left( x \right) = f\left( 1 \right)}\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} = 2\). Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
d) \(D = \left[ {2;4} \right];f’\left( x \right) = – 2x + 2;f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \notin \left[ {2;4} \right]\)
Ta có: \(f\left( 2 \right) = 4;f\left( 4 \right) = – 4\)
Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = – 4;\,\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = 4\).
e)
\(D = \left[ {0;1} \right];f’\left( x \right) = {{2{x^2} + 8x + 6} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}};f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 1 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr
x = – 3 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr} \right.\)
Ta có: \(f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = {{11} \over 3}\)
Vậy \(\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} = 2;\) \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} = {{11} \over 3}\)
f) \(D = \left( {0;2} \right];f’\left( x \right) = 1 + {1 \over {{x^2}}} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;2} \right];f\left( 2 \right) = {3 \over 2}\)
\(\mathop {\,\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} = {3 \over 2}\) . Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {0;2} \right]\).