Bài 15 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu...

Bài 15. Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\), hàm số: \(y = {{{x^2} – m\left( {m + 1} \right)x + {m^3} + 1} \over {x – m}}\) luôn có cực đại và cực tiểu

TXĐ: \(D = {\mathbb{R}}\backslash \left\{ m \right\}\)

\(\eqalign{
& y’ = {{\left[ {2x – m\left( {m + 1} \right)} \right]\left( {x – m} \right) – \left[ {{x^2} – m\left( {m + 1} \right)x + {m^3} + 1} \right]} \over {{{\left( {x – m} \right)}^2}}} \cr
& \,\,\,\,\, = {{{x^2} – 2mx + {m^2} – 1} \over {{{\left( {x – m} \right)}^2}}},x \ne m \cr} \)

\(\eqalign{
& y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2mx + {m^2} – 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x – m} \right)^2} = 1 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = m – 1;f\left( {m – 1} \right) = – {m^2} + m – 2 \hfill \cr
x = m + 1;f\left( {m + 1} \right) = – {m^2} + m + 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)