Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Nâng cao Bài 18 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng...

Bài 18 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:...

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau. Bài 18 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao – Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 18. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = 2{\sin ^2}x + 2\sin x – 1\)

b) \(y = {\cos ^2}2x – \sin x\cos x + 4\)

a) Đặt \(t = \sin x, – 1 \le t \le 1\)

\(y = f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t – 1\)

Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\). Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\mathbb R\).

\(f’\left( t \right) = 4t + 2;f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  – {1 \over 2}\)

Ta có: \(f\left( { – 1} \right) =  – 1;f\left( { – {1 \over 2}} \right) =  – {3 \over 2};f\left( 1 \right) = 3\)

\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]}  =  – {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]}  = 3\)

Advertisements (Quảng cáo)

Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  =  – {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = 3\).

b) Ta có: \(y = 1 – {\sin ^2}2x – {1 \over 2}\sin 2x + 4 =  – {\sin ^2}2x – {1 \over 2}\sin 2x + 5\)

Đặt \(t = \sin 2x, – 1 \le t \le 1\)

\(y = f\left( t \right) =  – {t^2} – {1 \over 2}t + 5;f’\left( t \right) =  – 2t – {1 \over 2};f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  – {1 \over 4} \in \left[ { – 1;1} \right]\)

Ta có: \(f\left( { – 1} \right) = {9 \over 2};f\left( { – {1 \over 4}} \right) = {{81} \over {16}};f\left( 1 \right) = {7 \over 2}\)

\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]}  = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]}  = {{81} \over {16}}\)

Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = {{81} \over {16}}\).