Bài 2 trang 80 SGK Hình học 12 Nâng cao, Cho vectơ tùy ý khác. Chứng minh rằng...

Bài 2. Cho vectơ $\overrightarrow u$ tùy ý khác $\overrightarrow 0$. Chứng minh rằng ${\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) = 1$

Giả sử $\overrightarrow u  = \left( {x;y;z} \right)$ ta có:
$\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) = {{\overrightarrow u .\overrightarrow i } \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {x \over {\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }} \Rightarrow {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) = {{{x^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}$
Tương tự: ${\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) = {{{y^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}$ và ${\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) = {{{z^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}$.
Vậy ${\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) = {{{x^2} + {y^2} + {z^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = 1$