Bài 42 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:...

Bài 42. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a)$y = {1 \over 3}{x^3} - {x^2} - 3x - {5 \over 3}$

b) $y = {x^3} - 3x + 1$

c) $y =  - {1 \over 3}{x^3} + {x^2} - 2x - {2 \over 3}$

d) $y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 1$

Gỉải

a) TXĐ: $D =\mathbb R$

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr & y’ = {x^2} - 2x - 3;\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr x = 3 \hfill \cr} \right.;\,\,y\left( { - 1} \right) = 0;\,\,y\left( 3 \right) = {{ - 32} \over 3} \cr}$

Bảng biến thiên:

$y” = 2x - 2;\,y” = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left( 1 \right) =  - {{16} \over 3}$

Xét dấu y”

Điểm uốn $I\left( {1; - {{16} \over 3}} \right)$

Điểm đặc biệt: $x = 0 \Rightarrow y = {{ - 5} \over 3}$

Đồ thị: Đồ thị nhận $I\left( {1; - {{16} \over 3}} \right)$ làm tâm đối xứng.

b) TXĐ: $D =\mathbb R$

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr & y’ = 3{x^2} - 3;\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr x = 1 \hfill \cr} \right.;\,\,y\left( { - 1} \right) = 3;\,y\left( 1 \right) = - 1 \cr}$

Bảng biến thiên:

$y” = 6x;\,y” = 0 \Leftrightarrow x = 0;\,y\left( 0 \right) = 1$

Xét dấu $y”$

Điểm uốn $I(0;1)$

Điểm đặc biệt:$x = 2 \Rightarrow y = 3$

Đồ thị: Đồ thị nhận $I(0;1)$ làm tâm đối xứng.

c) TXĐ: $D =\mathbb R$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty$

$y’ =  - {x^2} + 2x - 2 < 0$ với mọi $x \in\mathbb R$

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb R$

Bảng biến thiên:

$y” =  - 2x + 2;\,y” = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left( 1 \right) =  - 2$

Xét dấu $y”$

Điểm uốn $I(1;-2)$

Điểm đặc biết:$x = 0 \Rightarrow y = {{ - 2} \over 3}$

Đồ thị: Đồ thị nhận $I(1;-2)$ làm tâm đối xứng.

d) TXĐ: $D =\mathbb R$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty$

$y’ = 3{x^2} - 6x + 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \in\mathbb R$

Dấu bằng chỉ xảy ra khi $x = 1$

Hàm số đồng biến trên $\mathbb R$

Bảng biến thiên:

Xét dấu $y”$

Điểm uốn $I(1;2)$

Điểm đặc biệt: $x = 0 \Rightarrow y = 1$

Đồ thị: Đồ thị nhận $I(1;2)$ làm tâm đối xứng.