. Bài 41 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao - Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một hàm số đa thức
Bài 41.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 1\).
b) Tùy theo các giá trị của \(m\), hãy biện luận số nghiệm của phương trình: \( - {x^3} + 3{x^2} - 1 = m\)
a) TXĐ: \(D =\mathbb R\)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \cr
& y’ = - 3{x^2} + 6x = - 3x\left( {x - 2} \right);\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;\,y\left( 0 \right) = - 1 \hfill \cr
x = 2;\,y\left( 2 \right) = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Bảng biến thiên:
Hàm đồng biến trên khoảng \((0;2)\), nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0\), giá trị cực tiểu \(y(0) = -1\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 2\), giá trị cực đại \(y(2) = 3\).
Đồ thị: \(y” = - 6x + 6;\,\,y” = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left( 1 \right) = 1\)
Xét dấu y”:
Advertisements (Quảng cáo)
\(I(1;1)\) là điểm uốn của đồ thị
Điểm đặc biệt:
\(x = 0 \Rightarrow y = - 1\)
\(x = - 1 \Rightarrow y = 3\)
b) Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị \((C)\) hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 1\) với đường thẳng \(y = m\) cùng phương với trục \(Ox\).
Dựa vào đồ thị ta có kết quả sau:
- Nếu \(m < -1\) hoặc \(m > 3\) thì phương trình có \(1\) nghiệm;
- Nếu \(m = -1\) hoặc \(m = 3\) thì phương trình có \(2\) nghiệm;
- Nếu \(-1 < m < 3\) thì phương trình có \(3\) nghiệm.