Bài 47. Cho hàm số f liên tục trên \(\left[ {a;b} \right].\) Tỉ số : \({1 \over {b – a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\) được gọi là giá trị trung bình của hàm số f trên \(\left[ {a;b} \right]\) và được kí hiệu là \(m\left( f \right)\). Chứng minh rằng tồn tại điểm \(c \in \left[ {a;b} \right]\) sao cho \(m\left( f \right) = f\left( c \right)\)
Giả sử m và M tương ứng là giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số f trên \(\left[ {a;b} \right]\).
Ta có \(m \le f\left( x \right) \le M\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\)
Theo kết quả
\(f(x)>g(x)\) trên đoạn \([a;b]\) thì \(\int\limits_a^b {f(x)} dx > \int\limits_a^b {g(x)dx} \)
Ta có:
\(\eqalign{
& \int\limits_a^b {mdx \le \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \le \int\limits_a^b {Mdx} \Rightarrow m\left( {b – a} \right) \le \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \le M\left( {b – a} \right)} \cr
& \Rightarrow m \le {1 \over {b – a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx \le M \cr} \)
Vì \(f\) là hàm liên tục nên tồn tại \(c \in \left[ {a;b} \right]\) để \(f\left( c \right) = {1 \over {b – a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx.\)