b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm (3;3).
. Bài 55 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao - Bài 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của một số hàm phân thức hữu tỉ
Bài 55
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = x - {2 \over {x - 1}}\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm \((3;3)\).
a) Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
\(y’ = 1 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\)
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;1)\) và \((1; + \infty )\)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \cr} \)
Do đó \(x=1\) là tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - {2 \over {x - 1}}} \right) = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy \(y=x\) là tiệm cận xiên.
Bảng biến thiên:
Đồ thị giao \(Ox\) tại \((-1;0),(2;0)\)
Đồ thị giao \(Oy\) tại \(0;2)\)
b) Ta có: \(y’ = 1 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm \(M\left( {{x_o};{y_o}} \right) \in \left( C \right)\) là:
\(\left( d \right):\,y - {x_o} + {2 \over {{x_o} - 1}} = \left[ {1 + {2 \over {{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}} \right]\left( {x - {x_o}} \right)\,\left( {x \ne 1} \right)\)
Vì \(\left( {3;3} \right) \in d\) nên \(3 - {x_o} + {2 \over {{x_o} - 1}} = {{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2} + 2} \over {{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}\left( {3 - {x_o}} \right)\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left( {3 - {x_o}} \right){\left( {{x_o} - 1} \right)^2} + 2\left( {{x_o} - 1} \right) = \left( {{x_o} - 2{x_o} + 3} \right)\left( {3 - {x_o}} \right) \cr
& \Leftrightarrow {x_o} = 2;\,{y_o} = y\left( 2 \right) = 0 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y’\left( 2 \right) = 3 \cr} \)
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y = 3\left( {x - 2} \right)\) hay \(y = 3x - 6.\)