Bài 68. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(\tan x > x,\,\forall x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\);
b) \(\tan x > x + {{{x^3}} \over 3},\,\forall x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Hướng dẫn: a) Chứng minh rằng hàm số: \(f\left( x \right) = \tan x - x\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
a) Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x - x\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f’\left( x \right) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 > 0\,\,\forall x\left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Do đó hàm số \(f\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Từ đó: \(f\left( x \right) > f\left( 0 \right)\forall x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right) \Leftrightarrow \tan x - x > 0\forall x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
b) Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x - x - {{{x^3}} \over 3}\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f’\left( x \right) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 = {\tan ^2}x - {x^2} > 0\,\,\forall x\left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) (suy ra từ a)).
Do đó hàm số \(f\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và khi đó
\(f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right) \Rightarrow \tan x > x + {{{x^3}} \over 3}\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)