Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Nâng cao Bài 68 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao, Chứng minh...

Bài 68 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao, Chứng minh các bất đẳng thức sau:...

Chứng minh các bất đẳng thức sau. Bài 68 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao – Câu hỏi và bài tập chương I – Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 68. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(\tan x > x,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\);

b) \(\tan x > x + {{{x^3}} \over 3},\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Hướng dẫn: a) Chứng minh rằng hàm số: \(f\left( x \right) = \tan x – x\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

a) Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x – x\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f’\left( x \right) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} – 1 > 0\,\,\forall x\left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Do đó hàm số \(f\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) 

Advertisements (Quảng cáo)

Từ đó: \(f\left( x \right) > f\left( 0 \right)\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right) \Leftrightarrow \tan x – x > 0\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

b) Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x – x – {{{x^3}} \over 3}\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f’\left( x \right) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} – 1 = {\tan ^2}x – {x^2} > 0\,\,\forall x\left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) (suy ra từ a)).

Do đó hàm số \(f\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và khi đó 

\(f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right) \Rightarrow \tan x > x + {{{x^3}} \over 3}\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)