Bài 7. Cho hình bình hành ABCD với A(-3 ; -2 ; 0), B(3 ; -3 ; 1), C(5 ; 0 ; 2). Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BD} \).
Ta có \(\overrightarrow {BA} = \left( { – 6;1; – 1} \right);\overrightarrow {BC} = \left( {2;3;1} \right)\). Vì \({{ – 6} \over 2} \ne {1 \over 3} \ne {{ – 1} \over 1}\) nên \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Giả sử \(D\left( {x;y;z} \right)\) thì \(\overrightarrow {BD} = \left( {x – 3;y + 3;z – 1} \right)\)
ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:
\(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x – 3 = – 6 + 2 \hfill \cr
y + 3 = 1 + 3 \hfill \cr
z – 1 = – 1 + 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – 1 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr
z = 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(D\left( { – 1;1;1} \right)\) . Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {8;2;2} \right)\,;\,\overrightarrow {BD} = \left( { – 4;4;0} \right)\) . Do đó:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right) = {{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} } \over {AC.BD}} = {{ – 32 + 8} \over {\sqrt {72} .\sqrt {32} }} = – {1 \over 2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right) = {{2\pi } \over 3}\)