Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Nâng cao (sách cũ) Câu 3 trang 211 SGK Giải tích 12 Nâng cao, Chứng minh...

Câu 3 trang 211 SGK Giải tích 12 Nâng cao, Chứng minh rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới đường thẳng (D)...

Chứng minh rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới đường thẳng (D). Câu 3 trang 211 SGK Giải tích 12 Nâng cao - Câu hỏi và bài tập

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = ln x và (D) là một tiếp tuyến bất kỳ của (C).

Chứng mình rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới đường thẳng (D).

Giả sử M(x0, lnx0) ∈ (C) (x0 > 0 )

Ta có: \(y’ = {1 \over x}\)

Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là:

\(y = {1 \over {{x_0}}}(x - {x_o}) + \ln {x_0}\)

Vậy với mọi x ∈ (0,+∞), ta cần chứng minh:          

\(\eqalign{
& {1 \over {{x_0}}}(x - {x_0}) + \ln {x_0} \ge \ln x \cr
& \Leftrightarrow {x \over {{x_0}}} - 1 - \ln {x \over {{x_0}}} \ge 0 \cr} \) 

Advertisements (Quảng cáo)

Đặt \(t = {x \over {{x_0}}} > 0\)

Xét hàm số \(g(t) = t – \ln t\) với t > 0

\(\eqalign{
& g’ = 1 - {1 \over t} = {{t - 1} \over t} \cr
& g’ = 0 \Leftrightarrow y = t = 1 \cr} \) 

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có \(g(t) ≥ 1\) với mọi \(t \in (0, +∞)\)

\( \Rightarrow t - \ln t - 1 \ge 0 \Rightarrow {x \over {{x_0}}} - 1 - \ln {x \over {{x_0}}} \ge 0\) với mọi \(x > 0\)

Vậy trên \((0; +∞)\) (C) nằm phía dưới đường thẳng (D)     

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 12 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: