Câu 3 trang 211 SGK Giải tích 12 Nâng cao, Chứng minh rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới đường thẳng (D)...

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = ln x và (D) là một tiếp tuyến bất kỳ của (C).

Chứng mình rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới đường thẳng (D).

Giả sử M(x₀, lnx₀) ∈ (C) (x₀ > 0 )

Ta có: $y’ = {1 \over x}$

Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là:

$y = {1 \over {{x_0}}}(x - {x_o}) + \ln {x_0}$

Vậy với mọi x ∈ (0,+∞), ta cần chứng minh:          

$\eqalign{ & {1 \over {{x_0}}}(x - {x_0}) + \ln {x_0} \ge \ln x \cr & \Leftrightarrow {x \over {{x_0}}} - 1 - \ln {x \over {{x_0}}} \ge 0 \cr}$ 

Đặt $t = {x \over {{x_0}}} > 0$

Xét hàm số $g(t) = t – \ln t$ với t > 0

$\eqalign{ & g’ = 1 - {1 \over t} = {{t - 1} \over t} \cr & g’ = 0 \Leftrightarrow y = t = 1 \cr}$ 

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có $g(t) ≥ 1$ với mọi $t \in (0, +∞)$

$\Rightarrow t - \ln t - 1 \ge 0 \Rightarrow {x \over {{x_0}}} - 1 - \ln {x \over {{x_0}}} \ge 0$ với mọi $x > 0$

Vậy trên $(0; +∞)$ (C) nằm phía dưới đường thẳng (D)