Bài 2 trang 99 Hình học 12: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a...

Bài 2. Cho khối lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh bằng $a$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $B’C’$ và $C’D’$. Mặt phẳng $(AEF)$ chia khối lập phương đó thành hai khối đa diện (H) và (H’) trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh $A’$. Tính thể tích của (H).

Cách vẽ thiết diện:

Ta có $EF // B’D’$ mà $B’D’ // BD$ nên từ $A$ kẻ đường song song với $BD$, cắt $CD$ kéo dài tại $D_1$ và $CB$ kéo dài tại $B_1$.

Nối $B_1E$ cắt $BB’$ tại $G$. Nối $D_1F$ cắt $DD’$ tại $K$.

Thiết diện là ngũ giác $AGEFK$.

Hình (H) là khối $AGEFK.A’B’D’$.

Theo giả thiết $E$ là trung điểm của $B’C’$; $F$ là trung điểm của $C’D’$, ta có

$BB_1= BC = a = 2B’E$ $\Rightarrow BG = 2GB’ = {2 \over 3}a$

Từ đó ${V_{(A.B{B_1}G)}} = {1 \over 3}{S_{\Delta B{B_1}G}}.AB = {1 \over 9}{a^3} = {V_1}$

${V_{(A.D{D_1}K)}} = {1 \over 3}.{S_{\Delta D{D_1}K}}.AD = {1 \over 9}{a^3} = {V_2}$

Ta có ${S_{\Delta C{B_1}{D_1}}} = {1 \over 2}C{B_1}.C{D_1} = 2{a^2}$;

           ${S_{\Delta EC’F}} = {1 \over 2}.C’E.C’F = {{{a^2}} \over 8}$

Chiều cao hình chóp cụt $CB_1D_1.C’EF$là $CC’ = a$

${V_{C{C_1}{D_1}.C’EF}} = {1 \over 3}a\left( {2{a^2} + {{{a^2}} \over 8} + {{{a^2}} \over 2}} \right) = {{7{a^3}} \over 8}$

Thể tích của khối (H’) bằng:

${V_{(H’)}} = {V_{C{C_1}{D_1}.C’EF}} - ({V_1} + {V_2}) = {7 \over 8}{a^3} - {2 \over 9}{a^3}$

$= {{47} \over {72}}{a^3}$

Từ đó thể tích của khối (H) bằng:

${V_{(H)}} =$$V$_{lập phương} - $V$_(H’) = a³ - ${{47} \over {72}}{a^3} = {{25} \over {72}}{a^3}$