Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 (sách cũ) Bài 2 trang 99 Hình học 12: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’...

Bài 2 trang 99 Hình học 12: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a...

Bài 2 trang 99 SGK Hình học 12: ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC 12. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B’C’ và C’D’. Mặt phẳng (AEF) chia khối lập phương đó thành hai khối đa diện (H) và (H’) trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh A’. Tính thể tích của (H).

Bài 2. Cho khối lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(B’C’\) và \(C’D’\). Mặt phẳng \((AEF)\) chia khối lập phương đó thành hai khối đa diện (H) và (H’) trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh \(A’\). Tính thể tích của (H).

Cách vẽ thiết diện:

Ta có \(EF // B’D’\) mà \(B’D’ // BD\) nên từ \(A\) kẻ đường song song với \(BD\), cắt \(CD\) kéo dài tại \(D_1\) và \(CB\) kéo dài tại \(B_1\).

Nối \(B_1E\) cắt \(BB’\) tại \(G\). Nối \(D_1F\) cắt \(DD’\) tại \(K\).

Thiết diện là ngũ giác \(AGEFK\).

Hình (H) là khối \(AGEFK.A’B’D’\).

Theo giả thiết \(E\) là trung điểm của \(B’C’\); \(F\) là trung điểm của \(C’D’\), ta có

\(BB_1= BC = a = 2B’E\) \( \Rightarrow BG = 2GB’ = {2 \over 3}a\)

Từ đó \({V_{(A.B{B_1}G)}} = {1 \over 3}{S_{\Delta B{B_1}G}}.AB = {1 \over 9}{a^3} = {V_1}\)

Advertisements (Quảng cáo)

\({V_{(A.D{D_1}K)}} = {1 \over 3}.{S_{\Delta D{D_1}K}}.AD = {1 \over 9}{a^3} = {V_2}\)

Ta có \({S_{\Delta C{B_1}{D_1}}} = {1 \over 2}C{B_1}.C{D_1} = 2{a^2}\);

           \({S_{\Delta EC’F}} = {1 \over 2}.C’E.C’F = {{{a^2}} \over 8}\)

Chiều cao hình chóp cụt \(CB_1D_1.C’EF \)là \(CC’ = a\)

\({V_{C{C_1}{D_1}.C’EF}} = {1 \over 3}a\left( {2{a^2} + {{{a^2}} \over 8} + {{{a^2}} \over 2}} \right) = {{7{a^3}} \over 8}\)

Thể tích của khối (H’) bằng:

\({V_{(H’)}} = {V_{C{C_1}{D_1}.C’EF}} - ({V_1} + {V_2}) = {7 \over 8}{a^3} - {2 \over 9}{a^3} \)

\(= {{47} \over {72}}{a^3}\)

Từ đó thể tích của khối (H) bằng:

\({V_{(H)}} = \)\(V\)lập phương - \(V\)(H’) = a3 - \({{47} \over {72}}{a^3} = {{25} \over {72}}{a^3}\)

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 12 (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: