Bài 5 trang 99 SGK Hình học 12: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC)...

Bài 5. Cho tứ diện $ABCD$ có cạnh $AD$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Biết rằng $AC = AD = 4 cm$, $AB = 3 cm, BC = 5 cm$.

a) Tính thể tích tứ diện $ABCD$.

b) Tính khoảng cách từ điểm $A$ tới mặt phẳng $(BCD)$.

Chọn hệ toạ độ gốc là điểm $A$, các đường thẳng $AB, AC, AD$ theo thứ tự là các trục $Ox, Oy, Oz$.

Ta có: $A(0; 0; 0), B(3; 0; 0)$

           $C(0; 4; 0), D(0; 0; 4)$

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = (3; 0; 0) \Rightarrow AB = 3$

           $\overrightarrow {AC}  = (0; 4; 0)  \Rightarrow AC = 4$

           $\overrightarrow {AD}  = (0; 0; 4) \Rightarrow AD = 4$

$V_{ABCD}$ = ${1 \over 6}AB.AC.AD = 8 (cm^3)$

b) Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng $(BDC)$ là:

${x \over 3} + {y \over 4} + {z \over 4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y + 3z - 12 = 0$

Từ đây ta có: $d(A, (BDC)) ={{\left| {12} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2} + {4^2}} }} = {{12} \over {\sqrt {34} }}$