Bài 3 trang 146 Giải tích 12: ÔN TẬP CUỐI NĂM - GIẢI TÍCH 12...

Cho hàm số : y = x³ + ax² + bx + 1

a) Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1, 2) và B(-2, -1)

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị  tìm được của a và b.

c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 và đồ thị (C) quanh trục hoành.

a) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(1, 2) và B (-2, -1) khi và chỉ khi: 

\(\left\{ \matrix{
2 = 1 + a + b + 1 \hfill \cr
- 1 = - 8 + 4a - 2b + 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
b = - 1 \hfill \cr} \right.\)

b) Khi a = 1, b = -1 ta có hàm số: y = x³ + x² – x + 1

_ Tập xác định: (-∞, + ∞)

_ Sự biến thiên: y’ = 3x² + 2x – 1

y’= 0 ⇔ x = -1, x = \({1 \over 3}\)

Trên các khoảng (-∞, -1) và \(({1 \over 3}, + \infty )\) , y’>0 nên hàm số đồng biến

Trên khoảng \(( - 1,{1 \over 3})\)  , y’ < 0 nên hàm số nghịch biến

_ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -1, y_CD = 2

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {1 \over 3},{y_{CT}} = {{22} \over {27}}\)

_ Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị cắt trục tung tại y = 1, cắt trục hoành tại x ≈ -1, 84

c) Trong khoảng (0, 1) ta có y > 0.

Vì vậy, thể tích cần tìm là:

\(V = \pi \int_0^1 {({x^3}}  + {x^2} - x + 1{)^2}dx = {{134\pi } \over {105}}\)