Bài 4 trang 140 giải tích 12: Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực...

Bài 4. Cho $a, b, c \in \mathbb R$, $a \ne 0$, $z_1$ và $z_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{z^2} + {\rm{ }}bz{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

Hãy tính ${z_1} + {z_2}$ và${z_1} {z_2}$ theo các hệ số $a, b, c$. 

Hướng dẫn giải:

Yêu cầu của bài toán này là kiểm chứng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức.

+) Trường hợp $∆ ≥ 0$ ta đã biết kết quả theo định lí vi-ét.

+) Trường hợp $∆ < 0$, từ công thức nghiệm 

 ${z_1} =  \frac{-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}$, ${z_2}= \frac{-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}$ với $|∆| = 4ac - b^2$

${z_1} + {z_2}$ = $\frac{-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |}-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}=-\frac{b}{a}$

${z_1} {z_2} = \frac{(-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |})(-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |})}{2a.2a}=\frac{b^{2}+|\bigtriangleup |}{4a^{2}}=\frac{b^{2}+4ac-b^{2}}{4a^{2}}=\frac{c}{a}$