Câu 1 trang 25 hình học 12: Bài 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện...

Câu 1. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh $a$.

Cho tứ diện đều $ABCD$. Hạ đường cao $AH$ của tứ diện thì do các đường xiên $AB, AC, AD$ bằng nhau nên các hình chiếu của chúng: $HB, HC, HD$ bằng nhau. Do $BCD$ là tam giác đều nên $H$ là trọng tâm của tam giác $BCD$.

Do đó $BH = {2 \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 2}a = {{\sqrt 3 } \over 3}a$

Từ đó suy ra: $AH^2$=$a^2$– $BH^2$=${{6{a^2}} \over 9}$

Nên $AH = {{\sqrt 6 } \over 3}a$

Thể tích tứ diện đó $V={1 \over 3} \cdot {1 \over 2} \cdot {{\sqrt 3 } \over 2}{a^2} \cdot {{\sqrt 6 } \over 3}a = {a^3}{{\sqrt 2 } \over {12}}.$