Câu 4 trang 25 sgk hình học 12: Bài 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện...

Câu 4: Cho hình chóp $S.ABC$. Trên các đoạn thẳng $SA, SB, SC$ lần lượt lấy ba điểm $A’, B’, C’$ khác với $S$. Chứng minh rằng

${{{V_{S.A’B’C’}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SA’} \over {SA}} \cdot {{SB’} \over {SB}} \cdot {{SC’} \over {SC}}$

Hướng dẫn giải: 

Gọi $h$ và $h’$ lần lượt là chiều cao hạ từ $A, A’$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Gọi $S_1$ và $S_2$ theo thứ tự là diện tích các tam giác $SBC$ và $SB’C’$.

Khi đó ta có ${{h’} \over h} = {{SA’} \over {SA}}$ 

và ${{{1 \over 2}sin(B’SC’).SB’.SC’} \over {{1 \over 2}sin(BSC).SB.SC}} = {{SB’} \over {SB}}.{{SC’} \over {SC}}$

Suy ra ${{{V_{S.A’B’C’}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{{V_{A’.SB’C’}}} \over {{V_{A.SBC}}}} = {{{1 \over 3}h'{S_2}} \over {{1 \over 3}h{S_1}}} = {{SA’} \over {SA}} \cdot {{SB’} \over {SB}} \cdot {{SC’} \over {SC}}$ 

Đó là điều phải chứng minh.