72. Đố: Có những cặp phân số mà khi ta nhân chúng với nhau hoặc cộng chúng với nhau đều được cùng một kết quả.
Chẳng hạn : Cặp phân số \(\frac{7}{3}\) và \(\frac{7}{4}\) có :
\(\frac{7}{3}.\frac{7}{4}=\frac{7.7}{3.4}=\frac{49}{12}\)
\(\frac{7}{3}+\frac{7}{4}=\frac{7.4+7.3}{3.4}=\frac{49}{12}\).
Đố em tìm được một cặp phân số khác cũng có tính chất ấy.
Hướng dẫn giải.
Giả sử ta chọn hai phân số có cùng tử: \(\frac{a}{x}\) và \(\frac{a}{y}\).
Ta muốn có \(\frac{a}{x}.\frac{a}{y}=\frac{a}{x}+\frac{a}{y}=\frac{ay+ax}{xy}=\frac{a(x+y)}{xy}\) .
Advertisements (Quảng cáo)
Thế thì a . a = a.(x + y). Từ đó suy ra x + y = a.
Vì vậy với mỗi a > 1 cho trước ta có thể chọn x và y sao cho x + y = a.
Chẳng hạn với a = 11, x = 5, y = 6 ta có:
\(\frac{11}{5}+\frac{11}{6}=\frac{11.6+11.5}{5.6}=\frac{121}{30}.\)
Mặt khác, \(\frac{11}{5}.\frac{11}{6}=\frac{11.11}{30}=\frac{121}{30}.\) Vậy \(\frac{11}{5}.\frac{11}{6}=\frac{11}{5}+\frac{11}{6}\).
Như vậy ta có thể tìm được vô số cặp phân số mà tổng và tích của chúng bằng nhau.