Cho tam giác ADE cân tại A. Trên cạnh DE lấy các điểm B và C sao cho \({\rm{D}}B = EC = {1 \over 2}DE\)
a) Tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh điều đó?
b) Kẻ \(BM \bot A{\rm{D}}\) kẻ \(C{\rm{N}} \bot {\rm{AE}}\). Chứng minh rằng BM = CN.
c) Gọi I là giao điểm MB và NC. Tam giác IBC là tam giác gì? Chứng minh điều đó.
d) Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc BAC.
Xét ∆ADE cân tại A nên \(\widehat D = \widehat E\)
Xét ∆ABD và ∆ACE, ta có:
AD = AE (gt)
\(\widehat D = \widehat E\) (chứng minh trên)
DB = EC (gt)
Suy ra: ∆ABD = ∆ACE (c.g.c)
Suy ra: AB = AC (hai cạnh tương ứng)
Vậy ∆ABC cân tại A.
b) Xét hai tam giác vuông BMD và CNE, ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\widehat {BM{\rm{D}}} = \widehat {CNE} = 90^\circ \)
BD = CE (gt)
\(\widehat D = \widehat E\) (chứng minh trên)
Suy ra: ∆BMD = ∆CNE (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: BM = CN (hai cạnh tương ứng)
c) Ta có: ∆BMD = ∆CNE (chứng minh trên)
Suy ra: \(\widehat {DBM} = \widehat {ECN}\) (hai góc tương ứng)
\(\widehat {DBM} = \widehat {IBC}\) (đối đỉnh)
\(\widehat {ECN} = \widehat {ICB}\) (đối đỉnh)
Suy ra: \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\) hay ∆IBC cân tại I.
d) Xét ∆ABI và ∆ACI, ta có:
AB = AC (chứng minh trên)
IB = IC (vì ∆IBC cận tại I)
AI cạnh chung
Suy ra: ∆ABI = ∆ACI (c.c.c) \( \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {CAI}\) (hai góc tương ứng)
Vậy AI là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\)