Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM. Chứng minh rằng \(AB < {{BE + BF} \over 2}\)
Trong ∆ABM có \(\widehat {BAM} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \) AB < BM
Mà BM = BE + EM = BF – MF
Do đó: AB < BE + EM (1)
AB < BF – FM (2)
Suy ra: AB + AB < BE + ME + BF - MF (3)
Advertisements (Quảng cáo)
Xét hai tam giác vuông AEM và CFM:
\(\widehat {A{\rm{E}}M} = \widehat {CFM} = 90^\circ \)
AM = CM (gt)
\(\widehat {AM{\rm{E}}} = \widehat {CMF}\) (đối đỉnh)
Suy ra: ∆AEM = ∆CFM (cạnh huyền góc nhọn)
\( \Rightarrow \) ME = MF (4)
Từ (3) và (4) suy ra : AB + AB < BE + BF
\( \Rightarrow 2{\rm{A}}B < BE + BF \Rightarrow AB < {{BE + BF} \over 2}\)