Câu 15 trang 38 SBT Toán 7 tập 2: Chứng minh....

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM. Chứng minh rằng $AB < {{BE + BF} \over 2}$

Trong ∆ABM có $\widehat {BAM} = 90^\circ$

$\Rightarrow$ AB < BM

Mà          BM = BE + EM = BF – MF

Do đó:      AB <  BE  + EM             (1)

                   AB <  BF – FM              (2)

Suy ra:  AB  + AB  <  BE +  ME +  BF  - MF           (3)

Xét hai tam giác vuông AEM và CFM:

                   $\widehat {A{\rm{E}}M} = \widehat {CFM} = 90^\circ$

                   AM = CM (gt)

                   $\widehat {AM{\rm{E}}} = \widehat {CMF}$ (đối đỉnh)

Suy ra: ∆AEM = ∆CFM (cạnh huyền góc nhọn)

$\Rightarrow$ ME = MF             (4)

Từ (3) và (4) suy ra   :  AB  + AB <  BE + BF

$\Rightarrow 2{\rm{A}}B < BE + BF \Rightarrow AB < {{BE + BF} \over 2}$