Câu 53 trang 46 Sách bài tập Toán 7 tập 2:Chứng minh rằng AD = AE....

Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân  giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến  AB và AC.

a) Chứng minh rằng AD = AE.

b) Tính các dộ dài AD, AE biết rằng AB = 6cm, AC = 8cm.

a) I là giao điểm phân giác trong của $\widehat B$ và $\widehat C$ nên AI là tia phân giác của Â.

$\Rightarrow$ ID = IE (tính chất tia phân giác)         (1)

∆ADI vuông tại D có $\widehat {DAI} = 45^\circ$

Nên ∆ADI vuông cân tại D.

$\Rightarrow$ ID = DA      (2)

∆AEI vuông tại E có $\widehat {E{\rm{A}}I} = 45^\circ$

Nên ∆ AEI vuông cân tại E

$\Rightarrow$ IE = AE         (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AD = AE

b) Trong tam giác vuông ABC có Â=90°

Theo định lý Pitago ta có:

$\eqalign{ & B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr & B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100 \cr}$

$\Rightarrow$ BC = 10 (cm)

Kẻ $IF \bot BC$

Xét hai tam giác vuông IDB và IFB:

$\eqalign{ & \widehat {IDB} = \widehat {IFB} = 90^\circ \cr & \widehat {DBI} = \widehat {FBI}\left( {gt} \right) \cr}$

Cạnh huyền BI chung

Do đó:  ∆IDB = ∆IFB (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow$ DB = FB           (4)

Xét hai tam giác vuông IEC và IFC:

$\eqalign{ & \widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \cr & \widehat {ECI} = \widehat {FCI}\left( {gt} \right) \cr}$

Cạnh huyền CI chung  

Do đó: ∆IEC = ∆IFC (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow$ CE = CF        (5)

AD + AE = AB – DB + AC – CE

$\Rightarrow$ AD + AE = AB + AC – (DB + CF)          (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra:

AD + AE = AB + AC – (FB + FC) = AB + AC – BC

AD + AE = 6 + 8 – 10 = 4 (cm)

Mà AD = AE (chứng minh trên)

$\Rightarrow$ AD = AE = 4: 2 = 2 (cm)