Câu 81 trang 51 Sách bài tập Toán lớp 7 tập 2:Chứng minh rằng A là trung điểm EF....

Cho tam giác ABC. Qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành tam giác DEF (hình dưới)

a) Chứng minh rằng A là trung điểm EF.

b) Các đường cao của tam giác ABC là các đường trung trực của tam giác nào?

a) Xét ∆ABC và ∆ACE:

$\widehat {ACB} = \widehat {CA{\rm{E}}}$ (so le trong, AE // BC)

AC cạnh chung 

$\widehat {CAB} = \widehat {AC{\rm{E}}}$ (so le trong, CE // AB)

Do đó:  ∆ABC = ∆CEA (g.c.g)

$\Rightarrow$ AE = BC        (1)

Xét ∆ABC và ∆ABF:

$\widehat {ABC} = \widehat {{\rm{BAF}}}$ (so le trong, BF // AC)

AC cạnh chung

$\widehat {BAC} = \widehat {ABF}$ (so le trong, BF // AC)

Do đó: ∆ABC = ∆BAF (g.c.g)

$\Rightarrow$ AF = BC            (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AE = AF. Vậy A là trung điểm EF.

b) Kẻ ${\rm{A}}H \bot BC$

           EF // BC    (gt)

$\Rightarrow$ $AH \bot EF$

      AE = AF (chứng minh trên)

Vậy đường cao AH là đường trung trực của EF.

Chứng minh tương tự câu a, ta có B là trung điểm DF và DF // AC nên đường cao kẻ từ đỉnh B của  ∆ABC là đường trung trực DFF.

Ta có C là trung điểm DE và DE // AB nên đường cao kẻ từ đỉnh C của ∆ABC là đường trung trực của DE.