Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat A = {20^0},\) vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh rằng :
a) Tia AD là phân giác góc BAC.
b) AM = BC.
a)Xét tam giác ADB và ADC ta có:
AD là cạnh chung
AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
DB = DC (tam giác DBC đều)
Do đó: \(\Delta ADB = \Delta ADC(c.c.c) \Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat {DAC}\)
Vậy AD là tia phân giác của góc BAC.
b) Ta có: \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD} = {{\widehat {BAC}} \over 2} = {{{{20}^0}} \over 2} = {10^0}\) (AD là tia phân giác của góc BAC)
Advertisements (Quảng cáo)
Tam giác ABC có: \(\eqalign{ & \widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = {180^0} \cr & \Leftrightarrow \widehat {ABC} + {20^0} + \widehat {ABC} = {180^0} \cr & \Rightarrow 2\widehat {ABC} = {180^0} - {20^0} = {160^0} \cr & \Rightarrow \widehat {ABC} = {80^0} \cr} \)
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ABD} + \widehat {DBC}\)
Nên \(\widehat {ABD} + \widehat {DBC} = {80^0} \Rightarrow \widehat {ABD} + {60^0} = {80^0} \Rightarrow \widehat {ABD} = {20^0}.\)
Ta có: \(\widehat {ABM} = \widehat {MBD} = {{\widehat {ABD}} \over 2}\) (BM là tia phân giác của góc ABD)
\(\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {MBD} = {{{{20}^0}} \over 2} = {10^0}\)
Xét tam giác AMB và BDA có:
\(\widehat {ABM} = \widehat {BAD}( = {10^0})\)
AB là cạnh chung
\(\widehat {MAB} = \widehat {DBA}( = {20^0})\)
Do đó: \(\Delta AMB = \Delta BDA(g.c.g) \Rightarrow AM = BD.\)
Mà BD = BC (tam giác BCD đều) nên AM = BC.